a.
Lagrange
Persamaan
lagrangian berkembang pada periode dua yaitu sekitar tahun 1550-an sampai tahun
1800-an. Dimana pada periode ini mulai dikembangkan metode penelitian yang
sistematis dengan Galileo dikenal sebagi pencetus metode scientific dalam penetian. Persamaan lagrange sendiri ditemukan
oleh ilmuan yang bernama Joseph Louis Lagrange yang dikenal sebagai analisis.
Joseph Louis Lagrange menggabungkan variasi – variasi kalkulus dengan mekanika
yang kemudian metode penggabungan ini dikenal sebagai persamaan lagrangian.
Ketika dalam kondisi khusus terdapat gaya yang tidak dapat diketahui, maka
pendekatan Newtonian tidak berlaku. Sehingga diperlukan sebuah pendekatan baru
dengan meninjau sifat fisis lain, misalkan energi totalnya. Pendekatan ini
dapat dilakukan dengan menggunakan persamaan Lagrange yaitu persamaan umum
dinamika partikel yang dapat diturunkan dari prinsip Hamiltonian(http://nrmblue.blogspot.co.id/2014/12/persamaan-lagrangian.html)
Ilmuan yang bernama lengkap Joseph-Louis Lagrange ini blasteran Perancis dan Italia. Lahir pada tahun 1736
M dan Lagrange meninggal pada
pagi hari tanggal 10 April 1813, pada umur 76 tahun.
Kakeknya adalah kapten cavaleri Perancis
yang mengabdi pada Charles Emmanuel II, Raja Sardinia yang menikah dengan
dengan gadis Turin, anak bangsawan keluarga Conti. Ayah Lagrange adalah
penyandang dana perang Sardinia, menikah dengan Marie Therese Gros, anak semata
wayang dari seorang dokter kaya di Cambiano dan mempunyai sebelas orang anak.
Lagrange lahir dengan kondisi parah, tapi akhirnya selamat. Ayah dan ibunya
kaya sekaligus seorang spekulan. Saat Lagrange dan saudara-saudaranya dewasa,
tidak ada lagi kekayaan yang dapat diwariskan, sehingga ada ungkapan, ”Jika
saya mendapat warisan dalam jumlah besar, barangkali saya tidak akan
mempelajari matematika.”
Di sekolah minat Lagrange adalah ilmu
klasik. Jadi bukanlah suatu kebetulan apabila dia menyenangi matematika.
Awalnya mempelajari karya-karya Euclid dan Archimedes tapi tidak berkesan
baginya. Setelah melihat karya [Edmund] Halley (penemu komet) tentang metode
geometrikal sistetik dengan menggunakan kalkulus, Lagrange langsung tertarik.
Dengan belajar sendiri, dalam kurun waktu singkat, dia mampu menguasai apa yang
sekarang dikenal dengan nama analisis modern (modern analysis). Umur 19 tahun,
Lagrange menjadi Profesor matematika di Sekolah Royal Artilleri di Turin. Sejak
saat itu Lagrange mulai berkiprah dalam sejarah matematika
(https://blogpenemu.blogspot.co.id/2014/09/joseph-louis-lagrange-analitis-mekanika.html)
Lagrange menyatakan bahwa dalam ilmu mekanika diperlukan geometri ruang
empat dimensi – tiga koordinat Kartesian ditambah dengan satu koordinat waktu -
untuk menggambarkan pergerakan partikel dalam ruang sekaligus dalam waktu. Mekanika
versi Lagrange menjadi populer sejak 1915 setelah Einstein menggunakannya dalam
teori relativitas umum.
Saat Lagrange umur 19 tahun, ia mengirim
hasil kerjanya kepada Euler untuk diberi pengarahan. Euler menyarankan agar meneruskan. Empat tahun
kemudian, Lagrange mengirim surat berisi metode untuk menyelesaikan problem-problem
isoperimetrikal (variasi-variasi kalkulus, yang dirintis oleh Bernoulli) yang
membingungkan Euler selama bertahun-tahun. Euler menjawab dengan pernyataan bahwa metode
baru itu dapat menyelesaikan hambatan-hambatan, dan menyuruh Lagrange
menerbitkan temuan itu. Lagrange mengalami kesulitan, sebelum akhirnya
Euler menerbitkan
hasil kerjanya (setelah Lagrange) dan mengatakan bahwa saya dapat mengatasi
hambatan-hambatan ini setelah Lagrange menunjukkan cara penyelesaiannya yang
luar biasa. Prestasi ini membuat
Euler
mengangkat Lagrange sebagai anggota asing dari Akademi Berlin (1759). Pengakuan
ini membuat nama Lagrange dikenal di Perancis, sebelum Euler dan d’Alembert
membuat jadwal kunjungan Lagrange ke Berlin. Lewat negosiasi yang alot dan lama
dengan Frederick Agung, akhirnya Lagrange disetujui datang ke Berlin.
Tahun 1768, dalam isi sebuah surat kepada
d’Alembert, Lagrange menulis bahwa dia sedang mempelajari aritmatika. Ditemukan
kesulitan yang di luar dugaannya bahkan mungkin di luar dugaan d’Alembert pula.
Diawali dengan semua integer positif, dan untuk menemukan integer persegi
panjang, x² dan nx² + 1 adalah bentuk persegi panjang. Temuan ini penting bagi
bentuk kuadrat yang menjadi ciri analisis Diophantus. D’Alembert membalas bahwa
analisis Diophantus mungkin berguna dalam integral kalkulus, tapi tanpa
disertai rincian. Kelak tahun 1870, ditemukan oleh G. Zolotareff. Problem ini
juga menarik perhatian Laplace, sesama matematikawan Perancis, yang kemudian
mengirim surat kepada Lagrange, sebelum terjalin persahabatan diantara mereka.
Tetapi motivasi mempelajari matematika bagi mereka berdua berbeda seperti bumi
dan langit (baca: Laplace). Saat lagrange di Berlin, terjadi penemuan terbesar
aljabar pada tahun 1767 yang terdapat dalam buku On the Solution of Numerical
Equations. Riset Lagrange dalam teori dan solusi persamaan memberi insprirasi
aljabaris abad 19 seperti: Cauchy, Abel, Galois, Hermite dan Kronecker (https://blogpenemu.blogspot.co.id/2014/09/joseph-louis-lagrange-analitis-mekanika.html)
Persamaan gerak partikel yang dinyatakan oleh persamaan Lagrange dapat
diperoleh dengan meninjau energi kinetik dan energi potential partikel tanpa
perlu meninjau gaya yang bereaksi pada partikel. Energi kinetik partikel dalam
koordinat kartesian adalah fungsi dari percepatan, energi potensial partikel
yang bergerak dalam medan gaya konservatif adalah fungsi dari posisi.
Persamaan Lagrange merupakan persamaan gerak partikel sebagai fungsi dari
koordinat umum, dan mungkin waktu berpengaruh dalam persamaan ini karena
Persamaan transformasi yang menghubungkan dengan koordinat kartesian dan
koordinat umum mengandung fungsi waktu. Pada dasarnya persamaan Lagrange
ekuivalen dengan persamaan gerak Newton jika koordinat yang digunakan adalah
koordinat kartesian.
Menggunakan Kartesian ditambah
dimensi waktu ternyata mendasari terbentuknya teori relativitas umum Einstein,
meskipun Einstein harus menunggu terlebih dahulu munculnya Riemann yang
mencetuskan geometri non-Euclidian. Mekanika muncul sebagai ilmu baru, merupakan penerapan
prinsip-prinsip fisika dan matematika dengan penekanan lebih kepada penerapan
guna membantu manusia dalam menjalani kehidupan sehari-hari. Niat baik ini
sebenarnya sudah bergaung pada jaman Apollonius namun baru memperoleh momentum
setelah Lagrange. Aljabar juga menjadi perhatian Lagrange dengan memberikan
rumus untuk memperoleh hasil bilangan-bilangan yang tidak diketahui. Belum lagi
peran dalam pengembangan kalkulus dan kolaborasinya dengan sesama matematikawan
dan ilmuwan Perancis seangkatan maupun lebih tua (Euler dan d’Alembert) memberi sumbangsih yang
tidak kecil bagi perkembangan matematika (https://blogpenemu.blogspot.co.id/2014/09/joseph-louis-lagrange-analitis-mekanika.html).
Permasalahan sistem pegas dengan massa yang ada di ujung pegas dapat
diselesaikan dengan menggunakan
yang dapat dituliskan dengan
. Solusi persamaan ini adalah fungsi sinusoidal. Diyakini bahwa untuk
menyelesaikan soulusi ini ada metode selain menggunakan
adalah hanya memperhatikan
kuantitas fisik energi kinetik dan energi potensial.
Solusi umum Lagrangian adalah
...
(1)
dengan, T = energi kinetik ; V = energi potensial
Gambar 2.1 Sistem pegas
Pada sistem pegas berlaku persamaan Hooke :
Persamaan gerak pegas diberikan oleh persamaan :
... (2)
atau dapat ditulis,
sehingga, persamaan Euler
Lagrangian
... (4)
Solusi persamaan gerak menggunakan metode Lagrange dapat dicari dengan
melihat persamaan Euler Lagrange dan persamaan gerak pegas di atas yaitu :
Kemudian dicari solusi masing-masing persamaan (5) menjadi :
Jadi solusi persamaan gerak pegas
Dengan metode Lagrange ini kita dapat mencari solusi persamaan gerak
dan juga kita dapat mencari persamaan gerak dari solusi persamaan geraknya
(lihat persamaan 6), dan persamaan geraknya diberikan oleh persamaan Euler
Lagrange (lihat persamaan 4). Diperoleh :
Untuk mencari
persamaan diferensial gerak sebuah benda yang dinyatakan dalam koordinat
rampatan, kita dapat memulai dengan persamaan berikut:
(21)
dan selanjutnya kita akan mencoba
menyatakan persamaan tersebut dalam q. Pendekatan pertama yang akan kita pakai
adalah dari persamaan energi. Kita akan menghitung energi kinetik T dalam
bentuk koordinat Kartesian dan selanjutnya kita akan nyatakan dalam koordinat
rampatan dan turunannya terhadap waktu. Energi kinetik T dari sebuah sistem
yang mengandung N partikel dapat dinyatakan dengan
(22)
atau dalam bentuk yang lebih
ringkas ditulis sebagai berikut
(23)
Mari kita mencoba menyatakan
hubungan antara koordinat x dan q yang juga mengandung waktu t secara
eksplisit. Kita dapat misalkan
(24)
dan selanjutnya
(25)
Dalam pembahasan selanjutnya, kita
tetapkan bahwa harga i adalah 1,2, …..3N dimana N menyatakan jumlah partikel
dalam sistem, dan harga k adalah 1,2, . ….n; dimana n menyatakan jumlah
koordinat rampatan (derajat kebebasan) sistem. Oleh karena itu kita dapat
melihat bahwa energi kinetik sebagai fungsi koordinat rampatan, turunannya
terhadap waktu, atau mungkin dalam waktu. Dalam banyak hal, waktu t tidak
secara eksplisit terkait hubungan antara xi dan qk, sehingga ¶xi/¶t = 0. Jelaslah
bahwa energi kinetik T merupakan fungsi kuadrat yang homogen dari kecepatan
rampatan
.
Dari persamaan
(26)
Kalikan kedua ruas (ruas kiri dan
kanan) dengan
dan diferensialkan
terhadap t, akan diperoleh:
(27)
atau
(28)
Jika selanjutnya kita kalikan mi
dan kita gunakan hubungan
, kita dapat peroleh
(29)
Lakukan penjumlahan terhadap i
akan diperoleh :
(30)
Dari definisi gaya rampatan kita
peroleh
(31)
Ini adalah persamaan
diferensial gerak yang dinyatakan dalam koordinat rampatan dan dikenal dengan persamaan
Lagrange untuk gerak.
Dalam kasus gerakannya adalah
konservatif, persamaan Lagrange dapat ditulis sebagai berikut:
(32)
Persamaan ini biasanya ditulis
dalam bentuk yang lebih singkat dengan mendefinisikan fungsi Lagrangian L yakni
L = T - V (33)
Yang berarti bahwa kita dapat
menyatakaan T dan V dalam koordinat rampatan. Oleh karena V = V(qk) dan
, kita peroleh
dan
(34)
Persamaan Lagrange dapat ditulis
|
|
(35)
Persamaan diferensial gerak untuk
suatu sistem konservatif dapat dicari jika kita ketahui fungsi Lagrangian dalam
bentuk koordinat tertentu. Di sisi lain, jika gaya rampatan tidak konservatif,
misalkan nilainya adalah
, maka kita dapat menuliskan
(36)
Selanjutnya kita dapat
mendefinisikan sebuah fungsi Lagrangian
L = T - V, dan menuliskan persamaan diferensial gerak dalam bentuk
(37)
(37)
Bentuk di atas lebih
mudah dipakai jika gaya gesekan diperhitungkan.
Berikut ini akan
dibahas beberapa kehandalan persamaan Lagrange untuk menyelesaikan
masalah-masalah gerak. Prosedur umum yang dipakai untuk mencari persamaan
diferensial gerak dari sebuah sistem adalah sebagai berikut:
1.
Pilih sebuah kumpulan koordinat untuk menyatakan
konfigurasi sistem.
2.
Cari energi kinetik T sebagai fungsi koordinat tersebut
beserta turunannya terhadap waktu.
3.
Jika sistem tersebut konservatif, cari energi potensial V
sebagai fungsi koordinatnya, atau jika sistem tersebut tidak konservatif, cari
koordinat rampatan Qk.
4.
Persamaan deferensial gerak selanjutnya dapat dicari
dengan menggunakan persamaan di atas.
Beikut ini adalah
beberapa contoh pemakaiannya :
1.
Pandanglah sebuah partikel bermassa m yang bergerak
akibat pengaruh gaya sentral pada sebuah bidang. Rumuskan persamaan gerak partikel tersebut.
Misalkan koordinat
polar (r,q) digunakan sebagai
koordinat rampatan. Koordinat Cartesian (r,q) dapat dihubungkan
melalui :
x = r cos q
y = r sin q
Energi kinetik
partikel dapat ditulis :
Energi potensial oleh gaya sentral
Persamaan
Lagrange untuk sistem ini:
Dari persamaan
Lagrange:
Substitusi q1
= r dan q2 = q, diperoleh:
Dari kedua persamaan
di atas diperoleh:
Untuk partikel yang
bergerak dalam medan konservatif :
Jadi :
Dari persamaan
Lagrange :
atau :
Hal ini berarti bahwa J merupakan
momentum sudut yang nilainya konstan. Integrasi persamaan di atas menghasilkan
= konstan
Berdasarkan persamaan di atas dapat
dikatakan bahwa dalam medan konservatif momentum sudut J, merupakan tetapan
gerak.
2.
Osilator
Harmonik
Pandanglah sebuah osilator harmonik
1-dimensi, dan misalkan padanya bekerja sebuah gaya peredam yang besarnya
sebanding dengan kecepatan. Oleh karena itu sistem dapat dipandang tidak
konservatif. Jika x menyatakan pergeseran koordinat, maka fungsi Lagrangiannya
adalah
L = T - V =
(38)
dimana m adalah
massa dan k adalah tetapan kelenturan pegas. Selanjutnya:
dan
(39)
Oleh karena pada
sistem bekerja gaya yang tidak konservatif yang harganya sebanding dengan
kecepatan; dalam hal ini Q' = -c
, sehingga persamaan gerak dapat ditulis :
(40)
Ini tak lain adalah
persamaan gerak osilator harmonik satu dimensi dengan gaya peredam yang sudah
kita kenal.
3.
Partikel yang berada dalam medan sentral.
Mari kita rumuskan
persamaan Lagrange gerak sebuah partikel dalam sebuah bidang di bawah pengaruh
gaya sentral. Kita pilih koordinat polar
q1 = r, q2
= q. Maka
(41)
(42)
(43)
Selanjutnya dengan
menggunakan persamaan Lagrange, diperoleh :
(44)
(45)
Oleh karena
sistemnya tidak konservatif, maka persamaan geraknya adalah :
(46)
(47)
4. Mesin Atwood
Sebuah mesin Atwood
yang terdiri dari dua benda bermassa m1 dan m2
dihubungkan oleh tali homogen yang panjangnya l dan dilewatkan pada katrol
(lihat gambar). Sistem ini memiliki satu derajat kebebasan. Kita ambil variabel
x untuk menyatakan konfigurasi sistem, dimana x adalah jarak vertikal dari
katrol ke massa m1 seperti yang ditunjukkan pada gambar.
|
a
|
|
l-x
|
|
x
|
|
m1
|
|
m2
|
Gambar 2. 1
Mesin atwood tunggal
Kecepatan sudut
katrol adalah
, dimana a adalah jari-jari katrol. Energi kinetik sistem
ini adalah :
(48)
dimana I adalah
momen inersia katrol. Energi potensial sistem adalah :
(49)
Anggap bahwa pada
sistem tidak bekerja gaya gesekan, sehingga fungsi Lagrangiannya adalah
(50)
dan persamaan
Lagrangenya adalah
(51)
yang berarti bahwa :
(52)
atau
(53)
adalah percepatan
sistem. Nampak bahwa jika m1>m2, maka m1
akan bergerak turun, sebaliknya jika m1<m2 maka m1
akan bergerak naik dengan percepatan tertentu.
5.
Mesin
Atwood Ganda
Mesin Atwood ganda
diperlihatkan pada gambar 2.2.. Nampak bahwa sistem tersebut mempunyai dua
derajat kebebasan. Kita akan menyatakan konfigurasi sistem dengan koordinat x
dan x'. Massa katrol dalam hal ini diabaikan (untuk menyederhanakan persoalan).
Energi kinetik dan
energi potensial sistem adalah :
(54)
(55)
dimana m1,
m2 dan m3 adalah massa masing-masing beban, dan l serta
l' adalah panjang tali penghubungnya.
|
m1
|
|
m2
|
|
|
|
l-x
|
|
x
|
|
l'-x’
|
|
m3
|
Gambar 2.2.
Mesin Atwood Ganda
(56)
sehingga persamaan
geraknya dapat ditulis :
(57)
dengan penyelesaian
(58)
(59)
dan dari persamaan
ini percepatan
dan
dapat ditentukan.
6.
Partikel yang bergerak pada bidang miring yang dapat
digerakkan.
Mari kita tinjau
sebuah persoalan dimana sebuah partikel meluncur pada sebuah bidang miring yang
juga dapat bergerak pada permukaan datar yang licin, seperti yang ditunjukkan
pada gambar 2.3. Dalam persoalan ini terdapat dua derajat kebebasan, sehingga
kita butuhkan dua koordinat untuk menggambarkan keadaan sistem yang kita
tinjau. Kita akan memilih koordinat x dan x' yang masing-masing menyatakan
pergeseran dalam arah horisontal bidang terhadap titik acuan dan pergeseran
partikel dari titik acuan terhadap bidang seperti yang ditunjukkan pada gambar.
Dari analisis
diagram vektor kecepatan, nampak bahwa kuadrat kecepatan partikel diperoleh
dengan menggunakan hukum kosinus :
(60)
Oleh karena itu
energi kinetiknya adalah
(61)
dimana M adalah
massa bidang miring dengan sudut kemiringan q, seperti yang ditunjukkan dalam gambar 2.3. dan m adalah
massa partikel. Energi potensial sistem tak terkait dengan x oleh karena
bidangnya horisontal, sehingga kita dapat tuliskan :
V=mgx'sin q + tetapan
(62)
dan
(63)
Persamaan geraknya
(64)
sehingga
;
(65)
Percepatan
dan
adalah :
;
(66)
|
q
|
|
x
|
|
|
|
v
|
|
x'
|
|
q
|
|
|
|
m
|
|
M
|
Gambar 2. 3
Gerak pada
bidang miring dan representasi vektornya
7.
Penurunan persamaan Euler untuk rotasi bebas sebuah benda
tegar. Metode Lagrange dapat digunakan
untuk menurunkan persamaan Euler untuk gerak sebuah benda tegar. Kita akan
tinjau kasus torka - rotasi bebas. Kita ketahui bahwa energi kinetik diberikan
oleh persamaan:
(67)
Dalam hal ini
harga w mengacu pada
sumbu utama. Dalam Bagian sebelumnya
telah ditunjukkan bahwa w dapat dinyatakan
dalam sudut Euler q, f dan y sebagai berikut:
(68)
Dengan memperhatikan sudut Eulerian
sebagai koordinat rampatan, persamaan geraknya adalah:
(69)
(70)
(71)
oleh karena Q (gaya rampatan) semuanya
nol. Dengan menggunakan aturan/dalil rantai :
(72)
Sehingga
(73)
Dengan menggunakan lagi aturan rantai,
kita peroleh
(74)
Akibatnya, persamaan 71 menjadi :
(75)
yang mana seperti yang ditunjukkan dalam
bagian sebelumnya adalah persamaan Euler ketiga untuk rotasi bebas sebuah benda
tegar dibawah pengaruh torka nol. Persamaan Euler lainnya dapat diperoleh
dengan melakukan permutasi siklik (putaran) dari subskrip : 1®2, 2®3,
3®1.
a.
Lagrange
Persamaan
lagrangian berkembang pada periode dua yaitu sekitar tahun 1550-an sampai tahun
1800-an. Dimana pada periode ini mulai dikembangkan metode penelitian yang
sistematis dengan Galileo dikenal sebagi pencetus metode scientific dalam penetian. Persamaan lagrange sendiri ditemukan
oleh ilmuan yang bernama Joseph Louis Lagrange yang dikenal sebagai analisis.
Joseph Louis Lagrange menggabungkan variasi – variasi kalkulus dengan mekanika
yang kemudian metode penggabungan ini dikenal sebagai persamaan lagrangian.
Ketika dalam kondisi khusus terdapat gaya yang tidak dapat diketahui, maka
pendekatan Newtonian tidak berlaku. Sehingga diperlukan sebuah pendekatan baru
dengan meninjau sifat fisis lain, misalkan energi totalnya. Pendekatan ini
dapat dilakukan dengan menggunakan persamaan Lagrange yaitu persamaan umum
dinamika partikel yang dapat diturunkan dari prinsip Hamiltonian(http://nrmblue.blogspot.co.id/2014/12/persamaan-lagrangian.html)
Ilmuan yang bernama lengkap Joseph-Louis Lagrange ini blasteran Perancis dan Italia. Lahir pada tahun 1736
M dan Lagrange meninggal pada
pagi hari tanggal 10 April 1813, pada umur 76 tahun.
Kakeknya adalah kapten cavaleri Perancis
yang mengabdi pada Charles Emmanuel II, Raja Sardinia yang menikah dengan
dengan gadis Turin, anak bangsawan keluarga Conti. Ayah Lagrange adalah
penyandang dana perang Sardinia, menikah dengan Marie Therese Gros, anak semata
wayang dari seorang dokter kaya di Cambiano dan mempunyai sebelas orang anak.
Lagrange lahir dengan kondisi parah, tapi akhirnya selamat. Ayah dan ibunya
kaya sekaligus seorang spekulan. Saat Lagrange dan saudara-saudaranya dewasa,
tidak ada lagi kekayaan yang dapat diwariskan, sehingga ada ungkapan, ”Jika
saya mendapat warisan dalam jumlah besar, barangkali saya tidak akan
mempelajari matematika.”
Di sekolah minat Lagrange adalah ilmu
klasik. Jadi bukanlah suatu kebetulan apabila dia menyenangi matematika.
Awalnya mempelajari karya-karya Euclid dan Archimedes tapi tidak berkesan
baginya. Setelah melihat karya [Edmund] Halley (penemu komet) tentang metode
geometrikal sistetik dengan menggunakan kalkulus, Lagrange langsung tertarik.
Dengan belajar sendiri, dalam kurun waktu singkat, dia mampu menguasai apa yang
sekarang dikenal dengan nama analisis modern (modern analysis). Umur 19 tahun,
Lagrange menjadi Profesor matematika di Sekolah Royal Artilleri di Turin. Sejak
saat itu Lagrange mulai berkiprah dalam sejarah matematika
(https://blogpenemu.blogspot.co.id/2014/09/joseph-louis-lagrange-analitis-mekanika.html)
Lagrange menyatakan bahwa dalam ilmu mekanika diperlukan geometri ruang
empat dimensi – tiga koordinat Kartesian ditambah dengan satu koordinat waktu -
untuk menggambarkan pergerakan partikel dalam ruang sekaligus dalam waktu. Mekanika
versi Lagrange menjadi populer sejak 1915 setelah Einstein menggunakannya dalam
teori relativitas umum.
Saat Lagrange umur 19 tahun, ia mengirim
hasil kerjanya kepada Euler untuk diberi pengarahan. Euler menyarankan agar meneruskan. Empat tahun
kemudian, Lagrange mengirim surat berisi metode untuk menyelesaikan problem-problem
isoperimetrikal (variasi-variasi kalkulus, yang dirintis oleh Bernoulli) yang
membingungkan Euler selama bertahun-tahun. Euler menjawab dengan pernyataan bahwa metode
baru itu dapat menyelesaikan hambatan-hambatan, dan menyuruh Lagrange
menerbitkan temuan itu. Lagrange mengalami kesulitan, sebelum akhirnya
Euler menerbitkan
hasil kerjanya (setelah Lagrange) dan mengatakan bahwa saya dapat mengatasi
hambatan-hambatan ini setelah Lagrange menunjukkan cara penyelesaiannya yang
luar biasa. Prestasi ini membuat
Euler
mengangkat Lagrange sebagai anggota asing dari Akademi Berlin (1759). Pengakuan
ini membuat nama Lagrange dikenal di Perancis, sebelum Euler dan d’Alembert
membuat jadwal kunjungan Lagrange ke Berlin. Lewat negosiasi yang alot dan lama
dengan Frederick Agung, akhirnya Lagrange disetujui datang ke Berlin.
Tahun 1768, dalam isi sebuah surat kepada
d’Alembert, Lagrange menulis bahwa dia sedang mempelajari aritmatika. Ditemukan
kesulitan yang di luar dugaannya bahkan mungkin di luar dugaan d’Alembert pula.
Diawali dengan semua integer positif, dan untuk menemukan integer persegi
panjang, x² dan nx² + 1 adalah bentuk persegi panjang. Temuan ini penting bagi
bentuk kuadrat yang menjadi ciri analisis Diophantus. D’Alembert membalas bahwa
analisis Diophantus mungkin berguna dalam integral kalkulus, tapi tanpa
disertai rincian. Kelak tahun 1870, ditemukan oleh G. Zolotareff. Problem ini
juga menarik perhatian Laplace, sesama matematikawan Perancis, yang kemudian
mengirim surat kepada Lagrange, sebelum terjalin persahabatan diantara mereka.
Tetapi motivasi mempelajari matematika bagi mereka berdua berbeda seperti bumi
dan langit (baca: Laplace). Saat lagrange di Berlin, terjadi penemuan terbesar
aljabar pada tahun 1767 yang terdapat dalam buku On the Solution of Numerical
Equations. Riset Lagrange dalam teori dan solusi persamaan memberi insprirasi
aljabaris abad 19 seperti: Cauchy, Abel, Galois, Hermite dan Kronecker (https://blogpenemu.blogspot.co.id/2014/09/joseph-louis-lagrange-analitis-mekanika.html)
Persamaan gerak partikel yang dinyatakan oleh persamaan Lagrange dapat
diperoleh dengan meninjau energi kinetik dan energi potential partikel tanpa
perlu meninjau gaya yang bereaksi pada partikel. Energi kinetik partikel dalam
koordinat kartesian adalah fungsi dari percepatan, energi potensial partikel
yang bergerak dalam medan gaya konservatif adalah fungsi dari posisi.
Persamaan Lagrange merupakan persamaan gerak partikel sebagai fungsi dari
koordinat umum, dan mungkin waktu berpengaruh dalam persamaan ini karena
Persamaan transformasi yang menghubungkan dengan koordinat kartesian dan
koordinat umum mengandung fungsi waktu. Pada dasarnya persamaan Lagrange
ekuivalen dengan persamaan gerak Newton jika koordinat yang digunakan adalah
koordinat kartesian.
Menggunakan Kartesian ditambah
dimensi waktu ternyata mendasari terbentuknya teori relativitas umum Einstein,
meskipun Einstein harus menunggu terlebih dahulu munculnya Riemann yang
mencetuskan geometri non-Euclidian. Mekanika muncul sebagai ilmu baru, merupakan penerapan
prinsip-prinsip fisika dan matematika dengan penekanan lebih kepada penerapan
guna membantu manusia dalam menjalani kehidupan sehari-hari. Niat baik ini
sebenarnya sudah bergaung pada jaman Apollonius namun baru memperoleh momentum
setelah Lagrange. Aljabar juga menjadi perhatian Lagrange dengan memberikan
rumus untuk memperoleh hasil bilangan-bilangan yang tidak diketahui. Belum lagi
peran dalam pengembangan kalkulus dan kolaborasinya dengan sesama matematikawan
dan ilmuwan Perancis seangkatan maupun lebih tua (Euler dan d’Alembert) memberi sumbangsih yang
tidak kecil bagi perkembangan matematika (https://blogpenemu.blogspot.co.id/2014/09/joseph-louis-lagrange-analitis-mekanika.html).
Permasalahan sistem pegas dengan massa yang ada di ujung pegas dapat
diselesaikan dengan menggunakan
yang dapat dituliskan dengan
. Solusi persamaan ini adalah fungsi sinusoidal. Diyakini bahwa untuk
menyelesaikan soulusi ini ada metode selain menggunakan
adalah hanya memperhatikan
kuantitas fisik energi kinetik dan energi potensial.
Solusi umum Lagrangian adalah
...
(1)
dengan, T = energi kinetik ; V = energi potensial
Gambar 2.1 Sistem pegas
Pada sistem pegas berlaku persamaan Hooke :
Persamaan gerak pegas diberikan oleh persamaan :
... (2)
atau dapat ditulis,
sehingga, persamaan Euler
Lagrangian
... (4)
Solusi persamaan gerak menggunakan metode Lagrange dapat dicari dengan
melihat persamaan Euler Lagrange dan persamaan gerak pegas di atas yaitu :
Kemudian dicari solusi masing-masing persamaan (5) menjadi :
Jadi solusi persamaan gerak pegas
Dengan metode Lagrange ini kita dapat mencari solusi persamaan gerak
dan juga kita dapat mencari persamaan gerak dari solusi persamaan geraknya
(lihat persamaan 6), dan persamaan geraknya diberikan oleh persamaan Euler
Lagrange (lihat persamaan 4). Diperoleh :
Untuk mencari
persamaan diferensial gerak sebuah benda yang dinyatakan dalam koordinat
rampatan, kita dapat memulai dengan persamaan berikut:
(21)
dan selanjutnya kita akan mencoba
menyatakan persamaan tersebut dalam q. Pendekatan pertama yang akan kita pakai
adalah dari persamaan energi. Kita akan menghitung energi kinetik T dalam
bentuk koordinat Kartesian dan selanjutnya kita akan nyatakan dalam koordinat
rampatan dan turunannya terhadap waktu. Energi kinetik T dari sebuah sistem
yang mengandung N partikel dapat dinyatakan dengan
(22)
atau dalam bentuk yang lebih
ringkas ditulis sebagai berikut
(23)
Mari kita mencoba menyatakan
hubungan antara koordinat x dan q yang juga mengandung waktu t secara
eksplisit. Kita dapat misalkan
(24)
dan selanjutnya
(25)
Dalam pembahasan selanjutnya, kita
tetapkan bahwa harga i adalah 1,2, …..3N dimana N menyatakan jumlah partikel
dalam sistem, dan harga k adalah 1,2, . ….n; dimana n menyatakan jumlah
koordinat rampatan (derajat kebebasan) sistem. Oleh karena itu kita dapat
melihat bahwa energi kinetik sebagai fungsi koordinat rampatan, turunannya
terhadap waktu, atau mungkin dalam waktu. Dalam banyak hal, waktu t tidak
secara eksplisit terkait hubungan antara xi dan qk, sehingga ¶xi/¶t = 0. Jelaslah
bahwa energi kinetik T merupakan fungsi kuadrat yang homogen dari kecepatan
rampatan
.
Dari persamaan
(26)
Kalikan kedua ruas (ruas kiri dan
kanan) dengan
dan diferensialkan
terhadap t, akan diperoleh:
(27)
atau
(28)
Jika selanjutnya kita kalikan mi
dan kita gunakan hubungan
, kita dapat peroleh
(29)
Lakukan penjumlahan terhadap i
akan diperoleh :
(30)
Dari definisi gaya rampatan kita
peroleh
(31)
Ini adalah persamaan
diferensial gerak yang dinyatakan dalam koordinat rampatan dan dikenal dengan persamaan
Lagrange untuk gerak.
Dalam kasus gerakannya adalah
konservatif, persamaan Lagrange dapat ditulis sebagai berikut:
(32)
Persamaan ini biasanya ditulis
dalam bentuk yang lebih singkat dengan mendefinisikan fungsi Lagrangian L yakni
L = T - V (33)
Yang berarti bahwa kita dapat
menyatakaan T dan V dalam koordinat rampatan. Oleh karena V = V(qk) dan
, kita peroleh
dan
(34)
Persamaan Lagrange dapat ditulis
|
|
(35)
Persamaan diferensial gerak untuk
suatu sistem konservatif dapat dicari jika kita ketahui fungsi Lagrangian dalam
bentuk koordinat tertentu. Di sisi lain, jika gaya rampatan tidak konservatif,
misalkan nilainya adalah
, maka kita dapat menuliskan
(36)
Selanjutnya kita dapat
mendefinisikan sebuah fungsi Lagrangian
L = T - V, dan menuliskan persamaan diferensial gerak dalam bentuk
(37)
(37)
Bentuk di atas lebih
mudah dipakai jika gaya gesekan diperhitungkan.
Berikut ini akan
dibahas beberapa kehandalan persamaan Lagrange untuk menyelesaikan
masalah-masalah gerak. Prosedur umum yang dipakai untuk mencari persamaan
diferensial gerak dari sebuah sistem adalah sebagai berikut:
1.
Pilih sebuah kumpulan koordinat untuk menyatakan
konfigurasi sistem.
2.
Cari energi kinetik T sebagai fungsi koordinat tersebut
beserta turunannya terhadap waktu.
3.
Jika sistem tersebut konservatif, cari energi potensial V
sebagai fungsi koordinatnya, atau jika sistem tersebut tidak konservatif, cari
koordinat rampatan Qk.
4.
Persamaan deferensial gerak selanjutnya dapat dicari
dengan menggunakan persamaan di atas.
Beikut ini adalah
beberapa contoh pemakaiannya :
1.
Pandanglah sebuah partikel bermassa m yang bergerak
akibat pengaruh gaya sentral pada sebuah bidang. Rumuskan persamaan gerak partikel tersebut.
Misalkan koordinat
polar (r,q) digunakan sebagai
koordinat rampatan. Koordinat Cartesian (r,q) dapat dihubungkan
melalui :
x = r cos q
y = r sin q
Energi kinetik
partikel dapat ditulis :
Energi potensial oleh gaya sentral
Persamaan
Lagrange untuk sistem ini:
Dari persamaan
Lagrange:
Substitusi q1
= r dan q2 = q, diperoleh:
Dari kedua persamaan
di atas diperoleh:
Untuk partikel yang
bergerak dalam medan konservatif :
Jadi :
Dari persamaan
Lagrange :
atau :
Hal ini berarti bahwa J merupakan
momentum sudut yang nilainya konstan. Integrasi persamaan di atas menghasilkan
= konstan
Berdasarkan persamaan di atas dapat
dikatakan bahwa dalam medan konservatif momentum sudut J, merupakan tetapan
gerak.
2.
Osilator
Harmonik
Pandanglah sebuah osilator harmonik
1-dimensi, dan misalkan padanya bekerja sebuah gaya peredam yang besarnya
sebanding dengan kecepatan. Oleh karena itu sistem dapat dipandang tidak
konservatif. Jika x menyatakan pergeseran koordinat, maka fungsi Lagrangiannya
adalah
L = T - V =
(38)
dimana m adalah
massa dan k adalah tetapan kelenturan pegas. Selanjutnya:
dan
(39)
Oleh karena pada
sistem bekerja gaya yang tidak konservatif yang harganya sebanding dengan
kecepatan; dalam hal ini Q' = -c
, sehingga persamaan gerak dapat ditulis :
(40)
Ini tak lain adalah
persamaan gerak osilator harmonik satu dimensi dengan gaya peredam yang sudah
kita kenal.
3.
Partikel yang berada dalam medan sentral.
Mari kita rumuskan
persamaan Lagrange gerak sebuah partikel dalam sebuah bidang di bawah pengaruh
gaya sentral. Kita pilih koordinat polar
q1 = r, q2
= q. Maka
(41)
(42)
(43)
Selanjutnya dengan
menggunakan persamaan Lagrange, diperoleh :
(44)
(45)
Oleh karena
sistemnya tidak konservatif, maka persamaan geraknya adalah :
(46)
(47)
4. Mesin Atwood
Sebuah mesin Atwood
yang terdiri dari dua benda bermassa m1 dan m2
dihubungkan oleh tali homogen yang panjangnya l dan dilewatkan pada katrol
(lihat gambar). Sistem ini memiliki satu derajat kebebasan. Kita ambil variabel
x untuk menyatakan konfigurasi sistem, dimana x adalah jarak vertikal dari
katrol ke massa m1 seperti yang ditunjukkan pada gambar.
|
a
|
|
l-x
|
|
x
|
|
m1
|
|
m2
|
Gambar 2. 1
Mesin atwood tunggal
Kecepatan sudut
katrol adalah
, dimana a adalah jari-jari katrol. Energi kinetik sistem
ini adalah :
(48)
dimana I adalah
momen inersia katrol. Energi potensial sistem adalah :
(49)
Anggap bahwa pada
sistem tidak bekerja gaya gesekan, sehingga fungsi Lagrangiannya adalah
(50)
dan persamaan
Lagrangenya adalah
(51)
yang berarti bahwa :
(52)
atau
(53)
adalah percepatan
sistem. Nampak bahwa jika m1>m2, maka m1
akan bergerak turun, sebaliknya jika m1<m2 maka m1
akan bergerak naik dengan percepatan tertentu.
5.
Mesin
Atwood Ganda
Mesin Atwood ganda
diperlihatkan pada gambar 2.2.. Nampak bahwa sistem tersebut mempunyai dua
derajat kebebasan. Kita akan menyatakan konfigurasi sistem dengan koordinat x
dan x'. Massa katrol dalam hal ini diabaikan (untuk menyederhanakan persoalan).
Energi kinetik dan
energi potensial sistem adalah :
(54)
(55)
dimana m1,
m2 dan m3 adalah massa masing-masing beban, dan l serta
l' adalah panjang tali penghubungnya.
|
m1
|
|
m2
|
|
|
|
l-x
|
|
x
|
|
l'-x’
|
|
m3
|
Gambar 2.2.
Mesin Atwood Ganda
(56)
sehingga persamaan
geraknya dapat ditulis :
(57)
dengan penyelesaian
(58)
(59)
dan dari persamaan
ini percepatan
dan
dapat ditentukan.
6.
Partikel yang bergerak pada bidang miring yang dapat
digerakkan.
Mari kita tinjau
sebuah persoalan dimana sebuah partikel meluncur pada sebuah bidang miring yang
juga dapat bergerak pada permukaan datar yang licin, seperti yang ditunjukkan
pada gambar 2.3. Dalam persoalan ini terdapat dua derajat kebebasan, sehingga
kita butuhkan dua koordinat untuk menggambarkan keadaan sistem yang kita
tinjau. Kita akan memilih koordinat x dan x' yang masing-masing menyatakan
pergeseran dalam arah horisontal bidang terhadap titik acuan dan pergeseran
partikel dari titik acuan terhadap bidang seperti yang ditunjukkan pada gambar.
Dari analisis
diagram vektor kecepatan, nampak bahwa kuadrat kecepatan partikel diperoleh
dengan menggunakan hukum kosinus :
(60)
Oleh karena itu
energi kinetiknya adalah
(61)
dimana M adalah
massa bidang miring dengan sudut kemiringan q, seperti yang ditunjukkan dalam gambar 2.3. dan m adalah
massa partikel. Energi potensial sistem tak terkait dengan x oleh karena
bidangnya horisontal, sehingga kita dapat tuliskan :
V=mgx'sin q + tetapan
(62)
dan
(63)
Persamaan geraknya
(64)
sehingga
;
(65)
Percepatan
dan
adalah :
;
(66)
|
q
|
|
x
|
|
|
|
v
|
|
x'
|
|
q
|
|
|
|
m
|
|
M
|
Gambar 2. 3
Gerak pada
bidang miring dan representasi vektornya
7.
Penurunan persamaan Euler untuk rotasi bebas sebuah benda
tegar. Metode Lagrange dapat digunakan
untuk menurunkan persamaan Euler untuk gerak sebuah benda tegar. Kita akan
tinjau kasus torka - rotasi bebas. Kita ketahui bahwa energi kinetik diberikan
oleh persamaan:
(67)
Dalam hal ini
harga w mengacu pada
sumbu utama. Dalam Bagian sebelumnya
telah ditunjukkan bahwa w dapat dinyatakan
dalam sudut Euler q, f dan y sebagai berikut:
(68)
Dengan memperhatikan sudut Eulerian
sebagai koordinat rampatan, persamaan geraknya adalah:
(69)
(70)
(71)
oleh karena Q (gaya rampatan) semuanya
nol. Dengan menggunakan aturan/dalil rantai :
(72)
Sehingga
(73)
Dengan menggunakan lagi aturan rantai,
kita peroleh
(74)
Akibatnya, persamaan 71 menjadi :
(75)
yang mana seperti yang ditunjukkan dalam
bagian sebelumnya adalah persamaan Euler ketiga untuk rotasi bebas sebuah benda
tegar dibawah pengaruh torka nol. Persamaan Euler lainnya dapat diperoleh
dengan melakukan permutasi siklik (putaran) dari subskrip : 1®2, 2®3,
3®1.